设集合M={1,2,3,...,1000},对它的任意非空子集Z,其中a是Z中的最大数与最小数之和,请问所有a的算术平均数?

a=1001。
Z是M的非空集合，Z就要分为一元集，多元集。
当Z为一元集的时候，最大的元素和最小元素相同。此时a={(1+1)+(2+2)+(3+3)+...+(1000+1000)}/1000,即是a={(1+2+3+...+1000)+(1+2+3+...+1000)}/1000=1001.当Z为多元集的时候由于每个元素出现的概率是相同的。当Z为n(2<=n<=1000)元集的时候可以证明a=1001，具体过程用说明的文字描述就可以了。

我是学生，我的思路是这样，不知道可不可以
考虑一条坐标轴，范围是1-1000，然后过500.5画一条对称轴，对于上面的题目，任何一个真子集都可以将元素的点标出，并且对这些元素找出它关于500.5的对称点，这些对称点组成另一个子集，显然，这两个子集的a的算术平均数为500.5*2=1001，这样，所有的真子集两两配对，最后剩下M本身的a同样是1001，这个方法能够避免去考虑子集的个数问题，但是不知道这样的证明是否算严谨，请老师指教

可以从特殊到一般进行归纳
M={1}，M={1 2} M={1 2 3}